Seminários PMA 2024

When you need to fit a sphere or circle to 3D data points, the non-linearity of the problem seemingly precludes the use of linear algebra. We show how the problem can be reformulated into a recognizable form by means of CGA. We derive the complete solution, using geometric differentiation. Our reward will be a 5D orthogonal basis for all spheres in 3D space, of which the first is the best fitting sphere, the intersection of the first two the best fitting circle, and the intersection of the first three the best fitting point pair.

Fulll paper: Leo Dorst, Total Least Squares Fitting of k-Spheres in n-D Euclidean Space Using an (n + 2)-D Isometric Representation, J Math Imaging Vis (2014) 50:214-234, DOI 10.1007/s10851-014-0495-2

Muitos problemas importantes de decisão do mundo real podem ser modelados como problemas de otimização não linear inteira mista. No entanto, esses problemas são geralmente difíceis de serem resolvidos na prática. Neste seminário, veremos como modelar o problema de clustering e veremos técnicas de otimização não linear inteira mista para encontrar uma solução global para este problema.

Na maioria das aplicações práticas envolvendo aquisição de imagem, os ruídos introduzidos nesse processo são de natureza aleatória, sendo o mais comum o ruído gaussiano. Reconstruir imagens contaminadas por ruído é de fundamental importância nas etapas de pré-processamento de dados, especialmente em aplicações de processamento digital de imagem. Nesse contexto, métodos de otimização contínua podem ser usados para remover ruídos de imagens. Nesta palestra, apresentaremos uma modelagem matemática e experimentos numéricos usamos métodos clássicos de otimização contínua para remoção de ruídos em imagens.

Uma das mais impactantes realizações nas ciências quantitativas do início do século passado foi a combinação das noções soltas de simetria com a definição precisa das ações de grupo. De resultados importantes em criptografia, passando pela descrição do átomo de hidrogênio, chegando à formalização do programa Erlangen de Klein, o ponto de vista da teoria de grupo sobre simetrias permitiu desenvolvimentos sem precedentes em muitos campos teóricos e práticos. Em particular, no aprendizado de máquina, há um longo histórico de interesse na detecção de ações de grupos. Por exemplo, a identificação de simetrias do grupo euclidiano especial SE(n) tem sido abordada desde a década de 1980 para dados planares e, mais recentemente, para objetos 3D. Outros grupos de Lie também foram estudados, abelianos ou não. Depois que as informações de ações de grupos de Lie são determinadas, elas podem ser usadas para aumentar a eficiência de tarefas de inferência e aprendizado de máquina por meio de algoritmos equivariantes. Entretanto, os métodos de detecção de representação encontrados na literatura não abordam a questão de estimar o tipo exato de representação, ou seja, sua decomposição em representações irredutíveis. De fato, a representação é frequentemente encontrada por meio de sua álgebra de Lie, que é aproximada como se fosse um subespaço linear. Consequentemente, as informações sobre os comutadores não são exatas. Nesta palestra, apresentarei um trabalho que aborda a questão da projeção de um subespaço linear de matrizes na álgebra de Lie mais próxima, empregando ferramentas de otimização em variedades. Especificamente, a variedade envolvida é a grassmanniana das subálgebras de Lie. Nosso algoritmo é geral para qualquer grupo de Lie compacto, mas o implementamos e nos concentramos especificamente em SO(2), o toro, SU(2) e SO(3).

In a joint work with R. Mol, we prove that any germ of meromorphic function in complex or real dimension two can be made, in some local coordinates, algebraic, in a sense that we will detail in the talk.

Partially damped systems, which consist of both damped and undamped partial differential equations, pose significant challenges for stability analysis. Stabilization of these systems requires a deep understanding of how damping feedback interacts within the system. The goal is to identify the conditions necessary for ensuring stability as time goes to infinity. This involves examining what variable the damping is coupled to and determining the stability based on the system's structural coefficients. This talk will address various motivating problems and offer a detailed stability analysis of a system studied by E. H. Gomes Tavares, M. A. Jorge Silva, T. F. Ma, and H. P. Oquendo, "Shearing Viscoelasticity in Partially Dissipative Timoshenko–Boltzmann Systems," from SIAM J. Math. Anal., Vol. 56, Iss. 1, pp 1149-1178 (2024).

In this talk, we will study an abstract model associated with the Timoshenko system, incorporating fractional dissipative effects. The fractional dissipative effect is characterized by the powers of an arbitrary strictly positive self-adjoint operator, with a domain densely embedded in a Hilbert Space. Our first main result demonstrates that the operator, derived by reformulating the abstract system as a first-order system, is the generator of a strongly continuous semigroup. The second main result shows that this semigroup can exhibit properties such as exponential stability, analyticity, or belonging to a certain Gevrey class, depending on the values assigned to these powers.

Podemos explorar alguns resultados sobre campos vetoriais Hamiltonianos por meio de elementos puramente algébricos, como os autovalores da linearização do campo e sua diagonalização. O ponto principal é que toda uma teoria de álgebra linear pode ser construída utilizando propriedades particulares da matriz que gera o campo Hamiltoniano. Neste seminário, vamos explorar tal teoria e utilizá-la no reconhecimento de campos vetoriais Hamiltonianos.

Neste seminário, discutiremos alguns conceitos sobre sistemas de controle lineares em tempo discreto em grupos de Lie, tais como: controlabilidade, conjuntos de controle e controlabilidade por cadeias. De forma geral, a ideia é buscar condições que impliquem uma das propriedades anteriores, que por sua vez, dependem não só do sistema em si, mas da natureza do grupo de Lie que estamos trabalhando.

The neuromanifold of a neural network is the set of all functions the network parametrizes. At the core, training a neural network means to optimize a loss function over the neuromanifold. In this talk, we explain the geometry of the neuromanifold and its impact on network training for a few simple network architectures. We mainly focus on linear activation functions and compare fully-connected with convolutional networks. We provide first results on polynomial activation functions, such as lightning-attention networks. In all those cases, the neuromanifold is a semialgebraic set. We investigate how the geometry of this semialgebraic set (e.g., its singularities and relative boundary) changes with the network architecture. On the optimization side, we prove that for linear convolutional networks where all strides are larger than one and generic data, the non-zero critical points of the squared-error loss are smooth interior points of the semialgebraic function space. This property is known to be false for fully-connected linear networks or linear convolutional networks with stride one.

A Divulgação Científica é uma ferramenta essencial para democratizar o acesso ao conhecimento, permitindo que mais pessoas possam discutir e compreender temas que impactam e transformam a sociedade. Diversos métodos são empregados por pesquisadores para alcançar a popularização da ciência. Nesta apresentação, propomos utilizar estratégias de Marketing como método de Divulgação Científica em Matemática, com o objetivo de promover a ciência entre grupos socialmente minoritários, como mulheres e pessoas negras, ampliando sua inclusão e participação nas áreas científicas.

In this talk, we will present some examples of the interaction between Algebra and Geometry. Focus on three different objects: Riemann surfaces, Abelian varieties, and linear representations of finite groups. They all give rise to deep theories with their own known open problems, and considerable steps toward their understanding arise from their merging. We will explore some of these lines of interaction and present an effective procedure to explicitly find the decomposition of a polarized abelian variety into its simple factors if a period matrix is known.
If we have time, we will show two algorithms to compute the period matrix for an abelian variety, depending on the given geometric information about it. The goal is to fully decompose an abelian variety with a non-trivial automorphism group by successively decomposing their factor subvarieties arising from the group action, even when these no longer have a group action. We will also illustrate how to use our algorithms, showing a completely decomposable Jacobian variety of dimension 101, which fills the Ekedahl-Serre gap.

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